随机变量及其分布

核心定义

随机变量 是把随机试验结果映射为数值的函数，分为 离散型随机变量 与 连续型随机变量 两类。

离散型用 概率质量函数（PMF）$P(X=x_k)=p_k$ 描述，连续型用 概率密度函数（PDF）$f(x)$ 描述，两者统一于 分布函数 $F(x)=$ $P(X\le x)$。

分布函数 $F(x)$ 的三条性质：单调不减、右连续、$\lim_{x\to-\infty}F(x)=$ $0$，$\lim_{x\to+\infty}F(x)=$ $1$。

密度函数满足 $f(x)\ge 0$ 且 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=$ $1$；密度值可以大于 1，但面积必须为 1。

连续型随机变量的单点概率：$P(X=x)=$ $0$，这不等于”没有分布”。

常考四大分布：二项分布 $B(n,p)$、泊松分布 $P(\lambda)$、正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$、指数分布 $Exp(\lambda)$。

关键细节 / 操作步骤

1. 第一步：先判 离散/连续——看取值是否有限或可列。
2. 第二步：离散型列 分布律，连续型写 密度函数。
3. 第三步：需要概率时用 $F(x)$ 或直接 积分/求和。
4. 第四步：若题目给离散取值，先列出所有可能值及其概率，验证 $\sum p_k=$ $1$。
5. 第五步：若题目给连续密度，先检查密度是否 非负 且积分为 1。
6. 第六步：若题目问分布函数，记住它是 累计概率，密度是它的导数。
7. 第七步：若题目问随机变量变换 $Y=g(X)$，先找新变量与旧变量的 映射关系，再求新分布。
8. 第八步：若题目问二项分布，识别关键词”独立重复试验""成功次数”。
9. 第九步：若题目问泊松分布，识别关键词”单位时间/区域""稀疏事件计数”。
10. 第十步：若题目问正态分布的标准化，用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 转为 $N(0,1)$。

⚠️ 易错辨析

1. 分布函数 $\neq$ 密度函数：$F(x)$ 是累计概率，$f(x)$ 是局部强度，$F'(x)=f(x)$。
2. 离散型分布写法（列表/求和）和连续型分布写法（积分）不能混写。
3. 密度函数 $f(x)$ 可以大于 1，但积分必须等于 1——反例：$f(x)=2$ 在 $[0,0.5]$ 上合法。
4. 连续型 $P(X=x)=0$ 不代表事件不可能发生，只代表”单点测度为零”。
5. 分布函数一定 单调不减 且 右连续，判断题常考这两个性质。

💡 技巧与口诀 口诀：离散看点，连续看面；先写分布，再算概率。

应用场景：题目一旦出现”概率分布、密度、累计概率、取值范围”，先判断类型再选公式。

分布识别速查：固定次数独立重复 $\to$ 二项分布；单位时间稀疏计数 $\to$ 泊松分布；测量误差/大量叠加 $\to$ 正态分布；等待时间 $\to$ 指数分布。

若题目问随机变量的分布，先从 定义域 和 取值集合 下手，不要急着代公式。

📝 真题闭环 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，求 $P(|X-\mu|<\sigma)$ 的近似值。

解题思路：审题抓”正态分布""区间概率”，切入点是 标准化；令 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，则 $P(|X-\mu|<\sigma)=P(|Z|<1)=$ $\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1\approx0.6826$。

答案：$\approx 0.6826$（即 $3\sigma$ 原则中的第一个 $\sigma$ 区间）。