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无穷级数

无穷级数

核心定义

无穷级数 是无穷多个项的求和 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_n，核心问题是 收敛性。正项级数 各项非负，交错级数 形如 ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n，幂级数 形如 ∑anxn\sum a_n x^n。

正项级数判敛工具：比值判别法 lim⁡un+1un=ρ\lim\frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho，ρ<\rho < 11 收敛，ρ>\rho > 11 发散，ρ=1\rho = 1 失效；根值判别法 lim⁡unn=ρ\lim\sqrt[n]{u_n} = \rho，判据同上；比较判别法 找同阶参照级数；积分判别法 适用于正项单调递减函数对应的级数。莱布尼茨判别法：交错级数收敛需满足 ana_n 单调递减 且 an→a_n \to 00。

绝对收敛：∑∣un∣\sum|u_n| 收敛则原级数收敛且绝对收敛；原级数收敛但 ∑∣un∣\sum|u_n| 发散称为 条件收敛。收敛半径：R=1lim sup⁡∣an∣nR = \frac{1}{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}} 或用比值法 R=R = lim⁡∣an∣∣an+1∣\lim\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}，端点必须单独判定。

六个必背 麦克劳林展开（x0=0x_0=0 处的泰勒展开）：

  1. ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22+⋯e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots，收敛域 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)
  2. sin⁡x=x−x36+x5120−⋯\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots，收敛域 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)
  3. cos⁡x=1−x22+x424−⋯\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots，收敛域 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)
  4. ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots，收敛域 (−1,1](-1, 1]
  5. 11−x=1+x+x2+x3+⋯\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots，收敛域 (−1,1)(-1, 1)
  6. (1+x)a=1+ax+a(a−1)2x2+⋯(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots，收敛域 (−1,1)(-1, 1)（端点视 aa 而定）

泰勒公式 带拉格朗日余项：f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)，其中 Rn(x)=R_n(x) = f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}。

关键细节 / 操作步骤

  1. 第一步：先分类级数——正项、交错、幂级数，不同类别判别工具不同。
  2. 第二步：正项级数选判别法——含阶乘优先 比值判别法，含 nnn^n 优先 根值判别法，形如 1/np1/n^p 优先 比较或积分判别法。
  3. 第三步：交错级数用莱布尼茨判别，检查 ana_n 是否 单调递减且趋于零。
  4. 第四步：幂级数先求 收敛半径 RR，再单独检验 x=±Rx = \pm R 处的敛散性。
  5. 第五步：绝对收敛判定：先考察 ∑∣un∣\sum|u_n|，若收敛则原级数 绝对收敛。
  6. 第六步：条件收敛判定：原级数收敛但 ∑∣un∣\sum|u_n| 发散。
  7. 第七步：幂级数在收敛区间内部可 逐项求导 和 逐项积分，端点需单独判断。
  8. 第八步：求和函数时，常用技巧是对幂级数逐项求导或积分化为已知展开。
  9. 第九步：用泰勒展开近似计算或构造等价无穷小时，注意截断误差由 拉格朗日余项 控制。
  10. 第十步：pp-级数 ∑1np\sum\frac{1}{n^p} 当 p>p > 11 时收敛，p≤p \leq 11 时发散，常作为比较判别法的参照。

⚠️ 易错辨析 条件收敛 ≠\neq 绝对收敛。 反例：∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{n} 由莱布尼茨判别收敛，但 ∑1n\sum\frac{1}{n} 为调和级数发散，故为条件收敛。端点判定不能省略——反例：∑xnn\sum\frac{x^n}{n} 在 x=1x=1 处发散（调和级数），在 x=−1x=-1 处收敛（莱布尼茨），收敛域为 [−1,1)[-1, 1)。比值/根值判别 ρ=1\rho=1 时失效——如 ∑1n\sum\frac{1}{n} 和 ∑1n2\sum\frac{1}{n^2} 的极限比都趋于 1，但敛散性相反。逐项求导和积分只在收敛区间内部可靠，端点不可直接迁移。不要对发散级数做算术运算——发散级数没有”和”，不能参与加减。

💡 技巧与口诀 口诀：含阶乘优先比值，含 nnn^n 优先根值，1/np1/n^p 找比较或积分，交错先看莱布尼茨。应用场景：题目出现”幂级数、收敛半径、端点”时，先半径后端点。六个麦克劳林展开是求和函数的核心工具——遇到陌生幂级数求和，尝试对其逐项求导或积分，与已知展开对比。泰勒展开常用于：近似计算、极限计算、不等式证明。比较判别法的关键是找一个同阶且已知敛散性的参照级数（通常是 pp-级数或等比级数）。

📝 真题闭环 求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} 的收敛域。

解题思路：审题抓”收敛域”，切入点是 先求收敛半径再验端点；方法选择为比值法求半径；计算关键点：lim⁡n→∞∣an∣∣an+1∣=lim⁡n+1n=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim\frac{n+1}{n} = 11，故 R=R = 11；检验端点 x=1x = 1：∑1n\sum\frac{1}{n} 为调和级数，发散；x=−1x = -1：∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{n} 为交错级数，1/n1/n 单调递减趋于零，由莱布尼茨判别 收敛；易错防范是只求半径不验端点。

答案：收敛域为 [−1,1)[-1, 1)

cd ..