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数字特征

数字特征

核心定义

数学期望 衡量分布的 中心位置，方差 衡量 离散程度，协方差 衡量 共同波动，相关系数 衡量标准化后的 线性相关强弱。

期望的基本公式：E(X)=∑kxkpkE(X)=\sum_k x_kp_k（离散）或 E(X)=∫−∞+∞xf(x) dxE(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx（连续）。

方差计算核心公式：Var⁡(X)=E(X2)−\operatorname{Var}(X)=E(X^2)- [E(X)]2[E(X)]^2，永远非负。

期望线性性：E(aX+b)=E(aX+b)= aE(X)+baE(X)+b；方差放缩：Var⁡(aX+b)=\operatorname{Var}(aX+b)= a2Var⁡(X)a^2\operatorname{Var}(X)——常数 bb 不影响方差，系数要 平方。

协方差公式：Cov⁡(X,Y)=E(XY)−\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)E(X)E(Y)。

相关系数：ρXY=\rho_{XY}= Cov⁡(X,Y)Var⁡(X)⋅Var⁡(Y)\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\cdot\operatorname{Var}(Y)}}，取值范围 [−1,1][-1,1]。

独立一定推出协方差为 0（不相关），但协方差为 0 不能推出独立。

关键细节 / 操作步骤

  1. 第一步：先求 数学期望 E(X)E(X)。
  2. 第二步：再由 E(X2)E(X^2) 和方差公式求 方差 Var⁡(X)=\operatorname{Var}(X)= E(X2)−[E(X)]2E(X^2)-[E(X)]^2。
  3. 第三步：多变量情形补充 协方差 与 相关系数。
  4. 第四步：若题目给离散分布，直接按 求和 计算期望。
  5. 第五步：若题目给连续分布，按 积分 计算期望。
  6. 第六步：若题目问线性变换 Y=aX+bY=aX+b，优先套 期望线性 与 方差平方放缩。
  7. 第七步：若题目问独立变量和的方差，用 Var⁡(X+Y)=\operatorname{Var}(X+Y)= Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)（独立时协方差为零）。
  8. 第八步：若题目问协方差，先写 E(XY)E(XY) 再减去 E(X)E(Y)E(X)E(Y)。
  9. 第九步：若题目问相关系数，注意分母是 标准差乘积 不是方差乘积。
  10. 第十步：若题目问多个随机变量线性组合的方差，先展开 Var⁡(∑aiXi)=∑ai2Var⁡(Xi)+2∑i<jaiajCov⁡(Xi,Xj)\operatorname{Var}(\sum a_iX_i)=\sum a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)。

⚠️ 易错辨析

  1. E(X2)≠[E(X)]2E(X^2)\neq [E(X)]^2——前者是 二阶矩，后者是期望的平方，除非 XX 几乎为常数否则不等。
  2. Var⁡(aX+b)\operatorname{Var}(aX+b) 不是乘 aa，而是乘 a2a^2，因为方差是二次运算。
  3. 协方差为 0 只意味着没有 线性相关，不能推出独立——反例：X∼N(0,1)X\sim N(0,1)，Y=X2Y=X^2，则 Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X,Y)=0 但 X,YX,Y 不独立。
  4. 期望是 线性算子，方差不是线性的，不能乱拆：Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)+2Cov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)。
  5. 相关系数 ρ=±1\rho=\pm 1 表示 完全线性相关，不是”完全相关”。

💡 技巧与口诀 口诀：先线性求期望，再平方求方差；协方差看共同波动，相关系数看标准化后强弱。

应用场景：一看到”线性变换、独立和、波动程度、相关强弱”，就把数字特征作为第一工具。

若题目给 aX+baX+b，直接套 E(Y)=aE(X)+bE(Y)=aE(X)+b 和 Var⁡(Y)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)。

相关系数需要标准化是因为协方差会受 量纲 影响。

📝 真题闭环 设 XX 与 YY 独立，E(X)=2E(X)=2，E(Y)=3E(Y)=3，E(X2)=5E(X^2)=5，E(Y2)=10E(Y^2)=10，求 Var⁡(2X−Y)\operatorname{Var}(2X-Y)。

解题思路：审题抓”独立""方差""线性组合”，切入点是 方差展开公式；先算 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2=\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2= 5−4=15-4=1，Var⁡(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2=\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2= 10−9=110-9=1；独立时协方差为 0，则 Var⁡(2X−Y)=\operatorname{Var}(2X-Y)= 4Var⁡(X)+Var⁡(Y)4\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) =4+1=5=4+1=5。

答案：Var⁡(2X−Y)=4×1+1=5\operatorname{Var}(2X-Y)=4\times1+1=5。

cd ..