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多元函数微分学

多元函数微分学

核心定义

偏导数 是固定其他变量、对某一变量求导：fx=lim⁡h→0f(x0+h,y0)−f(x0,y0)hf_x = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0)}{h}。全微分 给出函数的局部线性近似：df=df = fx dx+fy dyf_x\,dx + f_y\,dy。方向导数 表示沿单位向量 u\mathbf{u} 方向的变化率：Duf=D_{\mathbf{u}}f = ∇f⋅u\nabla f \cdot \mathbf{u}。梯度 指向函数增长最快方向：∇f=\nabla f = (fx,fy)(f_x, f_y)。

多元微分的核心逻辑链：偏导数连续 ⇒\Rightarrow 可微 ⇒\Rightarrow 偏导存在且连续 ⇒\Rightarrow 方向导数存在，但偏导存在并不自动推出可微。可微 的充要条件是 lim⁡(h,k)→(0,0)f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−fxh−fykh2+k2=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x h - f_y k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 00。

极值判别：先找 驻点（fx=fy=0f_x = f_y = 0），再用 Hessian矩阵 判别。记 A=A = fxxf_{xx}，B=B = fxyf_{xy}，C=C = fyyf_{yy}，判别量 Δ=\Delta = AC−B2AC - B^2。当 Δ>0\Delta > 0 且 A>0A > 0 为 极小值；Δ>0\Delta > 0 且 A<0A < 0 为 极大值；Δ<0\Delta < 0 为 鞍点（非极值）；Δ=0\Delta = 0 时 无法判定，需另寻方法。

拉格朗日乘子法 用于约束极值问题：在约束 g(x,y)=0g(x,y)=0 下求 f(x,y)f(x,y) 的极值，构造 F(x,y,λ)=F(x,y,\lambda) = f(x,y)+λg(x,y)f(x,y) + \lambda g(x,y)，解方程组 {Fx=0Fy=0Fλ=0\begin{cases} F_x = 0 \\ F_y = 0 \\ F_\lambda = 0 \end{cases} 即 fx+λgx=0f_x + \lambda g_x = 0，fy+λgy=0f_y + \lambda g_y = 0，g(x,y)=0g(x,y) = 0。

隐函数定理：若 F(x,y)F(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 附近连续可微且 F(x0,y0)=0F(x_0,y_0) = 0、Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0,y_0) \neq 0，则存在 y=y(x)y = y(x) 满足 F(x,y(x))=0F(x,y(x)) = 0，且 dydx=\frac{dy}{dx} = −FxFy-\frac{F_x}{F_y}。切平面方程：z−z0=z - z_0 = fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)，法向量 n=\mathbf{n} = (fx,fy,−1)(f_x, f_y, -1)。

关键细节 / 操作步骤

  1. 第一步：计算 一阶偏导 fx,fyf_x, f_y，注意链式法则在复合函数中的使用。
  2. 第二步：判断可微性——验证 全微分极限 是否为零，分段函数重点检查 拼接点。
  3. 第三步：方向导数计算：先确认 u\mathbf{u} 是 单位向量（否则必须单位化），再代入 Duf=∇f⋅uD_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}。
  4. 第四步：最速上升方向为 梯度方向，最速下降方向为 负梯度方向，方向导数最大值为 ∣∇f∣|\nabla f|。
  5. 第五步：无条件极值：解 fx=0,fy=0f_x = 0, f_y = 0 得驻点，再用 Hessian 矩阵的 AC−B2AC - B^2 分类判别。
  6. 第六步：条件极值：构造 拉格朗日函数 F=f+λgF = f + \lambda g，解三元方程组得候选点。
  7. 第七步：隐函数求导：直接用公式 dydx=\frac{dy}{dx} = −FxFy-\frac{F_x}{F_y}，前提是 Fy≠0F_y \neq 0。
  8. 第八步：切平面与法线：由偏导数值代入切平面方程，法线方程为 x−x0fx=y−y0fy=\frac{x-x_0}{f_x} = \frac{y-y_0}{f_y} = z−z0−1\frac{z-z_0}{-1}。
  9. 第九步：混合偏导 fxyf_{xy} 与 fyxf_{yx} 在 偏导连续 的条件下相等。
  10. 第十步：闭区域最值问题：先找内部驻点，再检查 边界极值（常用拉格朗日法处理边界），最后比较所有候选点。

⚠️ 易错辨析 偏导存在 ≠\neq 可微。 反例：f(x,y)=xyx2+y2f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}（f(0,0)=0f(0,0)=0）在原点偏导均为零，但沿 y=kxy=kx 方向极限为 k1+k2\frac{k}{1+k^2}，不一致，故 不可微。方向导数公式中 u\mathbf{u} 必须是单位向量——反例：方向 (3,4)(3,4) 必须单位化为 (3/5,4/5)(3/5, 4/5)。可微 ⇒\Rightarrow 连续，但连续 ⇏\not\Rightarrow 可微。Hessian 判别 Δ=0\Delta = 0 时失效——反例：f(x,y)=x4+y4f(x,y) = x^4 + y^4 在 (0,0)(0,0) 处 Δ=0\Delta = 0 但取极小值，需用其他方法。拉格朗日乘子法解出的点只是候选点，还需比较函数值确定最大/最小。

💡 技巧与口诀 口诀：先偏后全，先梯度后方向，极值先驻点再判型，约束上乘子。应用场景：题目出现”方向导数、最速上升、切平面”按梯度框架处理；出现”约束条件下极值”立刻构造拉格朗日函数。可微性检验：先尝试全微分形式，再做极限 lim⁡Δf−dfρ\lim \frac{\Delta f - df}{\rho} 是否为零。二元极值快速判断：算 AC−B2AC - B^2，正看 AA 的符号，负是鞍点，零要另寻方法。隐函数求导比全微分法更直接，但全微分法不容易漏项。

📝 真题闭环 求函数 f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9xf(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极值。

解题思路：审题抓”求极值”，切入点是 找驻点再 Hessian 判别；方法选择为无条件极值标准流程；计算关键点：fx=3x2+6x−9=3(x−1)(x+3)=0⇒x=f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x-1)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 11 或 x=x = −3-3，fy=−3y2+6y=−3y(y−2)=0⇒y=f_y = -3y^2 + 6y = -3y(y-2) = 0 \Rightarrow y = 00 或 y=y = 22，得四个驻点；A=fxx=A = f_{xx} = 6x+66x+6，B=fxy=0B = f_{xy} = 0，C=fyy=C = f_{yy} = −6y+6-6y+6；逐点计算 AC−B2AC - B^2 判别；易错防范是遗漏驻点或 Hessian 符号判断错误。

答案：驻点 (1,0)(1,0)：A=12>0,C=6,Δ=72>0A=12>0, C=6, \Delta=72>0，极小值 f=−5f=-5；(−3,0)(-3,0)：A=−12,C=6,Δ=−72<0A=-12, C=6, \Delta=-72<0，鞍点；(1,2)(1,2)：A=12,C=−6,Δ=−72<0A=12, C=-6, \Delta=-72<0，鞍点；(−3,2)(-3,2)：A=−12<0,C=−6,Δ=72>0A=-12<0, C=-6, \Delta=72>0，极大值 f=31f=31

cd ..