二次型

核心定义

二次型 是形如 $Q(x)=x^TAx$ 的二次齐次表达式，其中 $A$ 为 对称矩阵。考研中核心任务是消去交叉项，化为 标准形：$Q=$ $\lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$。

根据标准形的系数符号，判断 正定性：正定（系数 全正）、负定（系数 全负）、半正定（系数非负，允许 零）、半负定（系数非正）、不定（有正有负）。

正定判别两大工具：特征值判别（特征值 全正 则正定）与 顺序主子式判别（Sylvester 判据：所有顺序主子式 全大于 0 则正定）。负定对应顺序主子式 奇数阶为负、偶数阶为正。

二次型问题和特征值问题紧密关联：正交变换 $x=Qy$（$Q$ 为正交矩阵，$Q^TQ=$ $I$）将二次型化为标准形，本质就是 正交对角化。

惯性定理 保证 正惯性指数 $p$ 和 负惯性指数 $q$ 在合同变换下 不变（$p+q=$ 秩）。规范形 只保留符号信息（系数归一到 $\pm 1$）。

两个二次型合同的充要条件是 正负惯性指数分别相同，即 合同不变量 是 $p$ 和 $q$。

关键细节 / 操作步骤

1. 第一步：将二次型写成 对称矩阵形式（若题目给非对称矩阵 $B$，先取对称部分 $A=$ $\frac{B+B^T}{2}$）。对角线元素 $a_{ii}$ 对应 $x_i^2$ 系数，非对角线 $a_{ij}$ 对应交叉项系数的 一半。
2. 第二步：选择化简方法——正交变换法（求特征值和特征向量，$x=Qy$）或 配方法（代数操作消交叉项，逐步配方），两者都能化标准形但信息保留侧重点不同。
3. 第三步：根据特征值或 顺序主子式 判定正定性。含参数时优先用主子式条件写 不等式组。
4. 第四步：若题目问秩，标准形中 非零平方项个数 即为秩（$r=p+q$）。
5. 第五步：若题目问惯性指数，统计标准形中 正项和负项个数（正惯性指数 $p$，负惯性指数 $q$）。
6. 第六步：若题目问规范形，把标准形系数归一到 $\pm 1$，只保留符号信息。正惯性指数 $p$ 个 $+1$，负惯性指数 $q$ 个 $-1$。
7. 第七步：若题目问坐标变换，变换矩阵必须 可逆 才保证等价性。
8. 第八步：若题目问正半定，允许特征值为 0 但不能有负值，对应主子式 全非负。
9. 第九步：若题目问与几何曲面关系，正定对应 椭球面，不定对应 双曲面，半正定对应 椭圆柱面 等二次曲面分类。
10. 第十步：主子式判别与特征值判别可互相验证，优先选择 计算量小 的那个。

⚠️ 易错辨析

• 正定不等于每个系数都大于 0：交叉项存在时必须先看矩阵或主子式，不能只盯表面项。反例：$x^2+4xy+y^2$ 看似系数都正，但对应矩阵 $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ 的 $\Delta_2=1-4=$ $-3$ $<0$，不定。
• 非对称矩阵不能直接用于二次型判别：必须先转化为对应对称矩阵，正交对角化与主子式判别都依赖 对称结构。
• 顺序主子式判别仅适用于实对称矩阵：脱离对称条件乱用会导致错误结论。
• 配方法和正交变换侧重点不同：配方法更偏代数操作，正交变换保留更多结构信息（正交变换下 内积不变）。
• 合同与相似不同：合同 变换 $B=C^TAC$（$C$ 可逆），相似 变换 $B=P^{-1}AP$（$P$ 可逆）。合同保 惯性指数，相似保 特征值。

💡 技巧与口诀

• 口诀：有交叉先合矩阵，判正定看特征值或顺序主子式。
• 应用场景：题目出现”正定性、标准形、惯性指数”，就先把二次型转成矩阵问题处理。含参数时优先用顺序主子式写参数约束不等式组。
• 两种化法选择：需要正交变换信息时用特征值法，只需判正定性时配方法可能更快。
• 正定矩阵的性质：正定矩阵一定 可逆（行列式 > 0），正定矩阵的主对角元素一定 全正，正定矩阵的任意主子阵也正定。

📝 真题闭环 题目：判断二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 的正定性，并求正、负惯性指数和秩。

解题思路：

1. 审题抓”判断正定性”，切入点是 写出对称矩阵再用主子式或特征值判别。
2. 方法选择：先写出对称矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$，用顺序主子式判别。
3. 计算关键点：$\Delta_1=$ $2>0$；$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=$ $3>0$；$\Delta_3=|A|$，由行变换可求 $|A|=$ $4>0$。
4. 正惯性指数 $p=$ $3$，负惯性指数 $q=$ $0$，秩 $r=$ $3$。
5. 易错防范：三个顺序主子式必须 全正 才能判定正定，只看某一个不够。

答案：顺序主子式全正，二次型 正定，$p=$ $3$，$q=$ $0$，$r=$ $3$。