一元函数积分学

核心定义

不定积分 是求 原函数 的运算：$\int f(x)\,dx = F(x) +$ $C$，结果是一个函数族。定积分 是区间上的累积量，由 牛顿-莱布尼茨公式 连接：$\int_a^b f(x)\,dx =$ $F(b) - F(a)$。反常积分 将无限区间或无界函数纳入框架，核心是先判 收敛性 再求值。

积分的核心策略是 识别结构后选方法。常用方法：换元积分法（复合结构）、分部积分法（乘积结构）：$\int u\,dv =$ $uv - \int v\,du$。对称区间上的性质：$f$ 为奇函数时 $\int_{-a}^a f(x)\,dx =$ $0$；$f$ 为偶函数时 $\int_{-a}^a f(x)\,dx =$ $2\int_0^a f(x)\,dx$。

变上限积分 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 的导数为 $\Phi'(x) =$ $f(x)$（$f$ 连续时），这是连接微分与积分的桥梁。面积公式：$A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$，体积公式（绕 $x$ 轴旋转）：$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$。

关键细节 / 操作步骤

1. 第一步：先判断积分类型——不定积分（求原函数）、定积分（求数值）、反常积分（先判收敛）。
2. 第二步：观察被积函数结构，选择方法：复合函数优先 换元，乘积结构优先 分部积分。
3. 第三步：分部积分的 $u$ 选取口诀”反对幂指三”——反三角、对数优先作 $u$，指数、三角常作 $dv$。
4. 第四步：定积分题先 画图定上下限，再代入公式计算。
5. 第五步：对称区间必先检查 奇偶性，可能直接出结果而免于计算。
6. 第六步：含绝对值的积分，先按 零点分段，再分段确定符号后积分。
7. 第七步：面积题先找 曲线交点，再写 $\int |f-g|\,dx$，绝对值不可省略。
8. 第八步：体积题明确旋转轴，绕 $x$ 轴用 圆盘法 $\pi\int f^2\,dx$，绕 $y$ 轴用 壳法 $2\pi\int xf\,dx$。
9. 第九步：反常积分先判断 敛散性：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx$ 当 $p >$ $1$ 时收敛。
10. 第十步：换元时注意同步变换 上下限（定积分）或写出中间变量的微分关系（不定积分）。

⚠️ 易错辨析 不定积分必须带 $C$，定积分不能写 $C$，二者本质不同（函数族 vs 确定数值）。等价无穷小替换不能在积分号内随意使用——积分涉及区间累积，不是简单的逐点替换。面积 $\neq$ 定积分：面积需要绝对值，定积分是带符号的净累积量。反例：$\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx = 0$，但对应面积不为零。反常积分先判收敛——“形式上能算出公式”不代表收敛，如 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx$ 形式有原函数 $\ln x$ 但实际 发散。换元时上下限必须同步更换，不能只换被积函数不改积分限。

💡 技巧与口诀 口诀：反对幂指三选 $u$，复合先换元，对称看奇偶，面积找交点加绝对值。应用场景：看到复合函数 $\to$ 换元；乘积 $\to$ 分部；对称区间 $\to$ 奇偶性；绝对值 $\to$ 分段处理。分部积分多次使用时，注意 $u$ 和 $dv$ 的选择要前后一致，否则会循环回原式。变上限积分求导：遇到 $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt$ 时用复合函数链式法则得 $f(g(x)) \cdot g'(x)$。复杂积分可先尝试有理化、部分分式分解再选方法。

📝 真题闭环 计算 $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$。

解题思路：审题抓”乘积结构”和”定积分”，切入点是 分部积分法；方法选择为令 $u =$ $x$，$dv =$ $\sin x\,dx$（幂函数作 $u$）；计算关键点：$v =$ $-\cos x$，$\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = [-x\cos x]_0^{\pi} + \int_0^{\pi}\cos x\,dx =$ $\pi + [\sin x]_0^{\pi}$ $=$ $\pi$；易错防范是符号弄错或 $u/dv$ 选反。

答案：$\pi$