图

核心定义

图 由 顶点集 $V$ 和 边集 $E$ 构成，是非线性结构。图可以是有向或无向、带权或不带权、连通或非连通。

邻接矩阵 的空间复杂度为 $O(V^2)$，适合 稠密图（边多的图），判断两顶点是否相邻的时间为 $O(1)$。

邻接表 的空间复杂度为 $O(V+E)$，适合 稀疏图（边少的图），稀疏图更适合邻接表是因为 只存实际存在的边，空间更省。

图的遍历：DFS（深度优先搜索）使用 栈 或递归，时间复杂度 $O(V+E)$；BFS（广度优先搜索）使用 队列，时间复杂度 $O(V+E)$。DFS 产生 深度优先生成树，BFS 产生 广度优先生成树。

Dijkstra 算法适用于 非负权图 的单源最短路径，贪心本质，不适用于 负权边，邻接矩阵实现时间 $O(V^2)$。

Floyd 算法可求 任意两点间最短路径，时间复杂度 $O(V^3)$，可以处理负权边（但不能有 负权回路）。

最小生成树 关注 全图连通且总权值最小，使用 Kruskal 算法（适合稀疏图，时间 $O(E \log E)$，用 并查集 判环）或 Prim 算法（适合稠密图，时间 $O(V^2)$，从顶点逐步扩展）。

拓扑排序 用于 有向无环图（DAG），检测是否有 回路（回路则无法拓扑排序）。

关键路径 用于 AOE 网，求 最长路径（决定工程最短完成时间）。关键活动的松弛时间为 0，缩短关键活动可以 缩短工期。

图算法选择决策表（按问题类型定位算法）：

问题类型	判定条件	选用算法	时间复杂度 / 要点
遍历	深度优先	DFS（栈 / 递归）	$O(V+E)$
遍历	广度优先	BFS（队列）	$O(V+E)$
最短路径	无权	BFS	$O(V+E)$
最短路径	非负权	Dijkstra（贪心）	$O(V^2)$，邻接表+优先队列可至 $O(E\log V)$
最短路径	有负权	Bellman-Ford	可处理负权边
最短路径	所有点对	Floyd	$O(V^3)$，不能有负权回路
最小生成树	稀疏图	Kruskal（边权排序 + 并查集）	$O(E\log E)$
最小生成树	稠密图	Prim（从顶点逐步扩展）	$O(V^2)$
拓扑排序	DAG	每次选入度为 0 的顶点	结果不唯一
关键路径	AOE 网	求最长路径	关键活动松弛时间 = 0

关键细节 / 操作步骤

图的分析与存储

1. 先判图是 有向/无向、带权/不带权。
2. 再选存储方式：边少选 邻接表，边多选 邻接矩阵。
3. 若题目问存储复杂度，邻接矩阵 $O(V^2)$，邻接表 $O(V+E)$。
4. 若题目问邻接矩阵中非零元素个数，无向图为 $2E$（对称），有向图为 $E$。
5. 若题目问有向图顶点的度，要分别计算 入度和出度，无向图只需看一个度。
6. 图的题目常把”存储结构”和”算法选择”放在一起考，先 分开分析 再综合。

遍历与连通性

7. 若问遍历，DFS 用 栈/递归，BFS 用 队列。
8. 若问连通性，先看是否需要 遍历所有顶点；多个连通分量时 DFS/BFS 需 从未访问顶点重新启动。
9. 若题目问无向图的连通分量个数，用 DFS/BFS 从每个未访问顶点出发，启动次数即为连通分量数。
10. 若题目问无向连通图的生成树，边数为 $V - 1$，去掉任何一条边则 不连通。

核心算法选型

11. 访问类题优先 DFS/BFS，带权题再看 Dijkstra/Floyd/Kruskal/Prim。
12. 若问最短路径：无权图用 BFS，带权非负用 Dijkstra，有负权用 Bellman-Ford，所有点对用 Floyd。
13. 若问最小生成树，先区分 Kruskal（适合稀疏图，按 边权排序）和 Prim（适合稠密图，从 一个顶点扩展）。
14. 若题目问拓扑排序，只能用于 有向无环图，结果不唯一——每次选 入度为 0 的顶点输出。
15. 若题目问关键路径，关键活动的延迟会影响 整个工程工期。

算法局限

16. 若题目问 Dijkstra 是否能求最长路径，答案是 不能，因为最长路径问题是 NP-hard 的。

⚠️ 易错辨析 BFS 和 DFS 的核心差别在数据结构（队列 vs 栈），不在”看起来像不像遍历”。Dijkstra 不能直接处理负权边——遇到负权边可能给出 错误最短路径。最小生成树和最短路径不是一回事：前者 连接所有顶点并最小化总权值，后者 关注某源到某点的路径权值最小。图的连通、强连通、弱连通是不同概念——强连通要求 任意两点互相可达。Kruskal 选边时若图不连通则 无法生成一棵树。反例：Dijkstra 遇到负权边时，已确定最短路径的顶点可能需要被重新松弛。

💡 技巧与口诀 口诀：稀疏表、稠密阵；无权最短路用 BFS，带权非负路看 Dijkstra。适用场景：一看到”路径、连通、边权、生成树”就先把图的类型和问题目标分开。BFS 和 DFS 的区别重点在 搜索顺序、使用结构、应用场景 三方面。拓扑排序时每次选 入度为 0 的顶点 输出。关键路径上的活动是 关键活动，其松弛时间为 0。

📝 真题闭环 题目：对带非负权值的有向图，从源点 s 出发求到其余各顶点的最短路径，应选什么算法？其时间复杂度是多少？若图中存在负权边呢？

解题思路：审题抓”带非负权值”和”单源最短路径”，切入点是 Dijkstra 算法；方法选择为贪心策略；计算关键点是每次选取 当前最短路径的未访问顶点 进行松弛；易错防范是误用于含负权边的图。

答案：应选 Dijkstra 算法，使用邻接矩阵时时间为 $O(V^2)$，使用邻接表+优先队列可优化为 $O(E \log V)$。若有负权边则改用 Bellman-Ford 算法。

// T=O(V^2) S=O(V)
void Dijkstra(int dist[], int visited[], int graph[][MAX], int n, int s) {
    for (int i = 0; i < n; i++) dist[i] = INF;
    dist[s] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u = -1, min = INF;
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (!visited[j] && dist[j] < min) { u = j; min = dist[j]; }
        if (u == -1) break;
        visited[u] = 1;
        for (int v = 0; v < n; v++)
            if (!visited[v] && graph[u][v] != INF && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
    }
}