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一元函数微分学

一元函数微分学

核心定义

导数 描述函数在一点的瞬时变化率：f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}。可导 表示该极限存在；基本逻辑链：可导 ⇒\Rightarrow 连续，但 连续 ⇏\not\Rightarrow 可导（反例：f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 x=0x=0 处连续但不可导）。

微分 是函数增量 Δy\Delta y 的线性主部：dy=dy = f′(x0) dxf'(x_0)\,dx。驻点 是满足 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 的点，驻点是极值的 必要不充分 条件。极值 分为极大值和极小值，判定靠一阶导数符号变化或二阶导数符号。

微分学核心任务是通过导数研究函数的 单调性、极值、凹凸性、拐点 与 渐近线。拐点 是凹凸性改变的点，需要 f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 且二阶导在该点 变号。

洛必达法则 用于 0/00/0 或 ∞/∞\infty/\infty 型极限：lim⁡fg=lim⁡\lim \frac{f}{g} = \lim f′g′\frac{f'}{g'}，前提是右端极限存在或为无穷。泰勒公式 将函数展开为多项式加余项：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + Rn(x)R_n(x)。

微分中值定理 是用导数研究函数区间性质的核心工具，自底向上四层级：费马定理——ff 在 x0x_0 可导且取极值 ⇒f′(x0)=0\Rightarrow f'(x_0)=0；罗尔定理——ff 在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导且 f(a)=f(b)f(a)=f(b) ⇒\Rightarrow 存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0；拉格朗日中值定理（狭义微分中值定理）——去掉 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 条件 ⇒\Rightarrow 存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f(b)−f(a)=f(b)-f(a)= f′(ξ)(b−a)f'(\xi)(b-a)，推论 f′≡0f'\equiv 0 ⇒\Rightarrow ff 为常数；柯西中值定理——f,gf,g 在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导且 g′(x)≠0g'(x)\neq 0 ⇒\Rightarrow 存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) 使 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}= f′(ξ)g′(ξ)\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}（参数方程 {x=g(t),y=f(t)}\{x=g(t),y=f(t)\} 的拉格朗日形式，同一个 ξ\xi）。泰勒公式是中值定理的 nn 阶推广：拉格朗日余项 f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} 用于证不等式/中值等式，佩亚诺余项 o((x−x0)n)o((x-x_0)^n) 用于求极限/判阶。

关键细节 / 操作步骤

  1. 第一步：用求导法则得到 f′(x)f'(x)，注意 复合函数链式法则 和 乘积/商法则。
  2. 第二步：找 驻点（f′=0f'=0）、不可导点（分段点、绝对值点、根号点）、端点。
  3. 第三步：用 一阶导符号 划分单调区间——f′>0f'>0 递增，f′<0f'<0 递减。
  4. 第四步：极值判定：一阶法看导数 穿零变号；二阶法：f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 为 极小值，f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 为 极大值。
  5. 第五步：凹凸性看 f′′f'' 符号：f′′>0f''>0 为 凹（开口向上），f′′<0f''<0 为 凸（开口向下）。
  6. 第六步：拐点判断：f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 且 f′′f'' 在该点 变号。
  7. 第七步：切线方程：y−f(x0)=y - f(x_0) = f′(x0)(x−x0)f'(x_0)(x - x_0)；法线斜率为导数的 负倒数。
  8. 第八步：求最值时比较所有 临界点 和 区间端点 的函数值，取最大/最小。
  9. 第九步：渐近线：水平渐近线看 lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm\infty} f(x)，垂直渐近线看 无定义点处的极限为无穷，斜渐近线看 lim⁡x→∞[f(x)−kx]=b\lim_{x \to \infty}[f(x) - kx] = b。
  10. 第十步：证明不等式常用策略：构造辅助函数 g(x)=f(x)−h(x)g(x) = f(x) - h(x)，通过 单调性 证明 g(x)≥0g(x) \geq 0。

⚠️ 易错辨析 驻点 ≠\neq 极值点。 反例：f(x)=x3f(x) = x^3 在 x=0x=0 处 f′=0f'=0，但不是极值（导数不变号）。连续 ≠\neq 可导：尖点（∣x∣|x|）、折点、垂直切线（x1/3x^{1/3} 在 x=0x=0）都不可导。二阶导判极值前提是 f′′(x0)≠0f''(x_0) \neq 0，若 f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 则该法失效（如 f(x)=x4f(x) = x^4 在 x=0x=0 处二阶导为零但取极小值）。单调性必须看整个区间的导数符号，不能由单点导数值推出。洛必达法则每次使用前必须重新验证 0/00/0 或 ∞/∞\infty/\infty 条件，且可能越用越复杂需及时停止。

💡 技巧与口诀 口诀：先求导，再找零，单调看一阶，极值再判二阶，凹凸看二阶变号。应用场景：题目出现”极值、单调、证明恒成立”时，导数是第一工具。不可导点优先检查：分段点、绝对值点 ∣x∣|x|、根号点 x\sqrt{x}。证明不等式常用构造法：令 g(x)=f(x)−h(x)g(x) = f(x) - h(x)，证 g′(x)g'(x) 恒正/负即可。洛必达法则适合分子分母独立可导且极限为不定式的情形，不适合用于判断单调性。

🧩 中值定理：辅助函数构造速查（证 F′(ξ)=0F'(\xi)=0 用罗尔时常用） 见 f(x)f′(x)f(x)f'(x) ⇒F=f2(x)\Rightarrow F=f^2(x)；见 [f′(x)]2+f(x)f′′(x)[f'(x)]^2+f(x)f''(x) ⇒F=f(x)f′(x)\Rightarrow F=f(x)f'(x)；见 f′(x)+f(x)f'(x)+f(x) ⇒F=f(x)ex\Rightarrow F=f(x)e^x；见 f′(x)−f(x)f'(x)-f(x) ⇒F=f(x)e−x\Rightarrow F=f(x)e^{-x}；见 f′(x)+kf(x)f'(x)+kf(x) ⇒F=f(x)ekx\Rightarrow F=f(x)e^{kx}；见 f′(x)+f(x)φ′(x)f'(x)+f(x)\varphi'(x) ⇒F=f(x)eφ(x)\Rightarrow F=f(x)e^{\varphi(x)}；见 xf′(x)−f(x)xf'(x)-f(x) ⇒F=f(x)x\Rightarrow F=\dfrac{f(x)}{x}；见 f′′(x)f(x)−[f′(x)]2f''(x)f(x)-[f'(x)]^2 ⇒F=f′(x)f(x)\Rightarrow F=\dfrac{f'(x)}{f(x)} 或 ln⁡f(x)\ln f(x)。 选定理：证 f(n)(ξ)=0f^{(n)}(\xi)=0 →\to 罗尔（多次用、找三点等值）；证 f(n)(ξ)≠0f^{(n)}(\xi)\neq 0 或不等式 →\to 泰勒；含 ff 与 f(n)(n≥2)f^{(n)}(n\ge2) 关系优先泰勒；两函数增量比 →\to 柯西。

📝 真题闭环 求函数 f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1 在 [−2,2][-2, 2] 上的极大值、极小值和最大值、最小值。

解题思路：审题抓”闭区间最值”，切入点是 找驻点+端点比较；方法选择为导数分析；计算关键点：f′(x)=3x2−3=0⇒x=f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = ±1\pm 1；f′′(x)=6xf''(x) = 6x，f′′(−1)=f''(-1) = −6<0-6 < 0（极大），f′′(1)=f''(1) = 6>06 > 0（极小）；再比较端点 f(−2)=f(-2) = −1-1，f(2)=f(2) = 33，f(−1)=f(-1) = 33，f(1)=f(1) = −1-1；易错防范是遗漏端点或搞混极大与最大。

答案：极大值 f(−1)=3f(-1)=3，极小值 f(1)=−1f(1)=-1，最大值 33，最小值 −1-1

cd ..